一阶线性方程与特征线法

#特征线法 #一阶线性方程

问题

一阶线性方程为

ut+b→⋅∇u=f(x,t),(x,t)∈Rn×R+.

这里 u=u(x,t)，b→ 为常矢量．

一阶线性齐次方程的特征线法

当 f(x,t)≡0 时，方程称为一阶线性齐次方程．

令

z(s):=u(x+sb→,t+s)

则

z′(s)=∇u(x+sb→,t+s)⋅b→+ut(x+sb→,t+s)=0.

这说明对任意的 (x0,t0)∈Rn×R+，直线 (x0,t)+s(b→,1) (s∈R) 上，u 的值不变．称直线

Γ:=(x0+t)+s(b→,1),s∈R

为一阶线性齐次方程的一条特征线．

对一阶线性齐次方程，平面被特征线所覆盖，从而可以解出初值方程的解

初值问题

考虑方程

{ut+b⋅∇u=0in Rn×(0,+∞),u=gon Rn×{t=0}.

其中 g=g(x) 是 C1 的．则在过 (x0,0) 的特征线 Γx0 上有

u(x,t)|Γx0=u(x0,0)|Γx0=g(x0).

从而，方程的解为

u(x,t)=g(x−tb),x∈Rn,t≥0.

一阶线性非齐次方程的初值问题

对一阶线性非齐次方程的初值问题

{ut+b⋅∇u=fin Rn×(0,+∞),u=gon Rn×{t=0}.

也可以借助类似的特征线法进行推导，记

z(s):=u(x+sb,t+s)

依同样的方法可以得出

z′(s)=f(x+sb,t+s).

从而

u(x,t)−g(x−tb)=z(0)−z(−t)=∫−t0f(x+sb,t+s)ds=∫0tf(x+(s−t)b,s)ds

方程的解为

u(x,t)=g(x−tb)+∫0tf(x+(s−t)b,s)ds(x∈Rn,t≥0).